(125) なぜA4用紙を折っていっても、縦横比率はずっと変わらないのか

まず、紙のサイズの話

ぼくは最近、写真を大きいサイズに印刷し、額縁に入れて、家族の許可をもらって、家に飾るのにハマっている。

その際、用紙のサイズには恐ろしくたくさんの種類があるのに驚き、辟易した。

ぼくらに一番身近なサイズは、おそらくコピー用紙でも使われるA4用紙だろう。

A4用紙は、210mm×297mm。長い長辺が、30cm物差しぐらいの大きさだ。

それとは違い、B4サイズというのもある。B版はA版よりも一回り大きいのだが、暗記だと、少し経つと、AとB、どちらが大きいか忘れてくる。

まず理解しなければいけないのが、A版は最大どこまでのサイズがあるかということだ。

A版はA0サイズまである。これが大元のサイズで、それを２分割すると、A１。さらに２分割でA2サイズとなる。

そしてA0サイズとは、面積が1m2（１平方メートル）である。そのため、A 0サイズは841mm×1189mmとなる。これをかけ算すると、約1,000mm2で、１m２となる。

そしてB版だが、そのA版を1.５倍にしたものである。そのため面積は1.５m２となる。だから一回り大きいのだ。B０サイズは1030mm × 1456mmで、約1500mm２であり、1.５m２となる。

どのようにサイズアップ、サイズダウンするかという点は、例えば、なじみのある、A３サイズとA4サイズを例に取ってみると、
A４は先ほども書いたが、210×297である。これの短辺を２倍する、そうすると、420×297になる。要は半分ずつ折っているのだが、折った辺を２倍してやれば、前のサイズに戻るというわけだ。

また、A4からA5であれば、210×297から、長辺を2で割る、すると、297÷２＝148.5。148.５×210が、A５サイズとなる。

あと、写真で言うと、よく写真をプリントする場合に使われる、L版と、それの倍の長さの２L版。

また、８つ切り、６つ切り、４つ切りなど、今度は画用紙の全紙と呼ばれる、A版でいうA0サイズみたいなものから、８等分、６等分、４等分して作られるサイズもある。

ぼくは最近この４つ切りで、さらに横に伸ばした、四つ切りワイドの形で写真を印刷したのだが、４つ切りとは、A４サイズの長辺はそのままもう少し縦が長くなるので、ちょっと正方形に近くなるイメージだ。無論、それより６つ切りが、さらに８つ切りの方が小さくなってくる。だが、この長さも一律ではない。なぜなら元の全紙の大きさが、色々と種類があるからだ。大きさがまちまちなので、それを４つ切りしたものも、当然大きさが変わってくる。これは元の紙の大きさがどのくらいかを確認した方がよく、４つ切りだからこの大きさとは、考えない方がいいだろう。

ではなぜ紙を折っても、比率が変わらないのか

ここからが本題なのだが、A版もB版も縦と横の比率は、√２：１となっている。√２とは、一夜一夜に人見頃なので、1.414くらい。つまり、1.414：１くらいの比率となっている。

これが不思議なもので、これを長辺で２等分してみる。例えば、A４サイズを２等分してA5サイズにするイメージだ。このとき、１より大きい√２の方を長辺として２等分するので、√２／２となる。

そうすると２等分してできたその紙の比率は、１：√２／２となる。じつはこれ、√２：１なのだ。

計算は下記のようになる。

つまりこれの差すところは、折っても、縦横比の比率は変わってないということだ。図示すると以下のようになる。

これのおかげで、A0の紙を、余すことなく使えることができる。これも全て、比率を√２：１にしたおかげである。

しかしよくよく考えるとおかしくないかと思う。なぜこの比率の時だけ何度等分していっても、同じ比率になるのか。

不思議だと思うのであれば、例えば長細い紙を用意し、２等分に折ってみてほしい。するとどうだろう。その等分された紙は、最初の紙の比率と違うだろう。

なぜ√２：１の時だけ、このような事態、つまりこの比率がキープされることになるのだろうか。

これを解くためには、まず√２から離れなければならない。それと同じく、２等分するということからも離れなければならない。それぞれをＸと置き換える。そして、この現象をおそらく数学的にいうと、以下の定義になるのだと思う。

X＞１の場合、√X：１の長方形があったとする。これをX等分で折り曲げても、比率は変わらず√X：１となる。これを証明すると以下となる。

一応証明はできたと思うのだが、なんだか釈然とこない。そうなんだ、ふぅんでこれだと終わってしまう。これの一番のミソは、○等分するの○と、√○の○がイコールであるということだ。つまり、もし３等分するのだったら、√３：１の紙にしてあげれば、３等分された紙の寸法は、元の紙と一緒ということになる。

そして今度は一旦紙を折るという概念から一旦離れ、数学式としてこの現象を見てみる。

√XをXで割れば、√X ／Xとなる。当然これにX倍すれば、元の√Xに戻る。

そして√X／Xを１にするためにはどうすればいいかを考える。

すると、以下のようなことが言える。

そして、このX／√Xが大事なのである。

X／√Xが、そもそも√Xだったとは、なかなか連想しにくい。

そしてここからわかることは、√X／Xに、√Xをかけると１になるということなのである。

これが証明となる。

この証明を解く鍵は、２等分とかにこだわらず、√の中身と、等分する数の一致に気が付けるかという点と、
√X／Xが√Xと同義であることに気づける点かと思う。

そして１にするためには、その逆数を使えば１になることに気付けば、じつは２等分したときの比率を変えたくなければ、元の比率をどう設定しておくのがいいのかを、逆算することができるのである。

以上。

この長さだと、何等分すれば、縦横比率が変わらないか。。。